刷博客的时候，无意中看到一篇介绍图像去雾的博客，讲到何凯明的《Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior》这篇文章，2009年CVPR的最佳论文，简单看了下介绍，瞬间就对作者佩服的五体投地，感叹这才叫做研究。
论文《Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior》可以在这里下载到，并且里面还有论文相关的幻灯片和其他参考论文等信息。

1. 论文的主要介绍

1.1 暗通道先验

暗通道先验是基于户外无雾图像的观察，在大部分不包含天空的图像中，在r,g,b三个通道中，至少有一个通道的最小灰度值非常小。用公式表示为，图像的暗通道J定义为：
$$
J^{dark}(x)=\min_{y\in{r,g,b}}(\min_{y\in\Omega(x)}(J^c(y))
$$
其中，$J^c$表示J的颜色通道，$\Omega(x)$表示以x为中心的窗口。
观察发现，对于户外无雾图片，$J^{dark}$值是非常小的，由此，称这个统计规律为暗通道先验。

1.2 图像去雾

在计算机视觉和计算机图形学中，通常使用下面的模型描述有雾图像：
$$
I(x)=J(x)t(x) + A(1-t(x))
$$
其中，I(x)就是观察到的含雾图像，J(x)是不包含雾的图像，A是全球大气光成分系数，t(x)表示透射率。图像去雾的问题实际上是根据已知的I(x)来求J(x)。

1.3 计算透射率

首先，假设大气光成分系数A是已知的，进一步的，假设在图像的一个小窗口内$\Omega(x)$，透射率t(x)是一个常数，对有雾图像模型的窗口内，使用min操作，得到：
$$
\min_{y\in\Omega(x)}(I^c(y)) = \tilde{t}(x)\min_{y\in\Omega(x)}(J^c(y))+(1-\tilde{t}(x))A^c
$$

min操作是在三个色彩通道上独立进行的，所以等式可以化简为：
$$
\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c}) = \tilde{t}(x)\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{J^c(y)}{A^c})+(1-\tilde{t}(x))
$$

对上面等式中三个色彩通道使用min操作，得到
$$
\min_c(\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c})) = \tilde{t} \min_c( (x)\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{J^c(y)}{A^c})) + (1-\tilde{t}(x))
\tag{公式8}
$$

根据暗通道先验，无雾图像J的暗通道$J^{dark}$趋向于0：
$$
J^{dark}(x) = \min_c( \min_{y\in\Omega(x)}(J^c(y))) = 0
$$

$A^c$一直是一个正数，可得：
$$
\min_c(\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c})) = 0
\tag{公式10}
$$

将公式10代入公式8中，得到：
$$
\tilde{t}(x) = 1 - \min_c(\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c}))
\tag{公式11}
$$
由此，得到透射率$\tilde{t}(x)$。

前面有说道，暗通道先验在天空的区域效果不好，不过幸运的是，有雾图像中天空的颜色通常都跟大气光成分A非常相似，由此，在天空区域有：
$$
\min_c(\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c})) \rightarrow 1 \text{, and } \tilde{t}(x) \rightarrow 0,
$$

在天空区域，图像的透射率趋向于0，这样，公式11就很好的概况了没有天空区域和有天空区域。

在现实生活中，图像中少量的雾能够反映物体的深度信息，所以，我们可以保留一点雾来让图像更加自然一些。
$$
\tilde{t}(x) = 1 - \omega\min_c(\min_{y\in\Omega(x)}(\frac{I^c(y)}{A^c}))
$$
$\omega$一般取0.95。

1.4 大气光成分系数

大气光成分系数一般是借助暗通道图获得的，首先在暗通道图中找出前0.1%的像素位置，再在这些位置中找出最高亮度的点作为大气光成分系数A。

1.5 恢复无雾图像

现在，I、A、T都已知，则无雾图像为：
$$
J(x) = \frac{I(x) - A}{max(t(x), t_0)} + A
$$
其中，$max(t(x), t_0)$主要是防止t值很小时，J值偏大，使得图像过白，一般设置$t_0$为0.1。

2. 我的一个实现

看我文章后，我自己用Python写了一个程序简单实现下。程序放在Github了。同时，我用Flask搭了一个简单的服务，可以直接上传有雾图片得到去雾后的图片，感兴趣的可以去http://tools.pfchai.com看看。